Semaine du 23 au 29 août.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 30 août.

Cette semaine, les problèmes vont être un peu plus ludique. Les deux problèmes sont très connus, vous connaissez probablement la réponse, mais ça peut être l’occasion d’en chercher des démonstrations. Évitez d’aller trop vite sur google et wikipedia .

1. Peut on remplir un échiquier privé des cases A1 et H8 (ie. en haut à gauche et en bas à droite) à l’aide de dominos couvrant deux cases ? (voir image ci-dessous)
   Attention, les dominos n’ont pas le droit de sortir de l’échiquier (on ne peut pas juste couvrir une case et sortir de l’échiquier) et ne doivent couvrir que deux cases ayant un côté commun (et donc, on ne peut les mettre en diagonal).
   
2. Voici une carte de la ville de Königsberg en 1651 (désormais nommée Kaliningrad).
   
   Peut-on partir d’une des quatre zones et y revenir en passant par tous les ponts une, et une seule fois ?

Comme la semaine dernière, voici un petit amusement mathématique :

• 

  ?! Mais c’est faux!!
  Où est donc l’erreur dans notre raisonnement ?!

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 30 aout.

Soit un espace topologique, une partie de et un connexe de d’intersection non vide avec l’intérieur de et avec l’intérieur de .
Montrer que .

Comme et , on peut écrire comme réunion disjointe : . Ainsi on a : .
Donc si on avait , on aurait comme partition (ie. réunion d’ensembles non vides et disjoints) des deux ouverts et , et alors ne serait pas connexe. Ce qui est absurde.

Soit un espace topologique connexe et un fermé de . On suppose que est connexe.
Montrer que est connexe.
Qu’en est-il si n’est pas supposé fermé ?

Pour montrer que est connexe, on va montrer que toute application continue de dans discret est constante.
Soit continue. La restriction de à (inclus dans par fermeture) est donc continue, et donc par connexité de , est constante.
Pour si fixer les idées, supposons .
On considère : .
On a , , et (car et ).
Comme et sont fermés (resp. comme image réciproque d’un fermé par continue et par réunion finie de deux fermées), on a montré que les images réciproques des fermés de discret par étaient des fermés de . Donc est continue, et étant défini sur un connexe et à valeurs dans discret, est constant (et vaut 0 ici).
Donc aussi, ce qui permet de conclure.

Le résultat n’est plus vrai si n’est pas supposé fermé : considérer et , alors qui est connexe, mais ne l’est pas (rappel : les connexes de sont les intervalles de ).

Déterminer .

Dans tout cet exercice, et sont munis de leurs topologies usuelles.

Considérons , il est évident que est continue, et on a : .

Posons maintenant , à valeurs dans muni de la topologie discrète, qui est clairement continue.
Alors l’application est continue à valeurs dans discret et est donc constante sur les composantes connexes de .
Il suffit désormais d’évaluer sur un point par composante connexe afin de pouvoir répondre.

Nous savons que et sont en bijections. Mais est-ce que que et , munis de leurs topologies usuelles, sont homéomorphes ?

Un raisonnement par l’absurde permet de répondre par la négative :
Supposons l’existence d’un homéomorphisme . Alors comme est connexe (car connexe par arc) et comme est continue, on sait que est un connexe de .
Or par bijectivité de , il vient : , qui n’est pas un connexe de (car les connexes de sont les intervalles de ).
D’où une contradiction.

Nous savons que , et donc pour tout réel , on a, en élevant à la puissance : .
Donc, si on choisit , on a , c’est-à-dire : . Suspect, non ?
De même, si cette fois on pose , on obtient , i.e. . De plus en plus louche…
Quelle erreur avons nous donc pu faire ?

Il faut savoir que la propriété n’est vraie que si ( et ) ou si ( et ).
Ici, , on ne peut donc pas écrire .

L’astrophysique est une discipline de la physique étudiant les phénomènes cosmologiques: mouvement des astres, naissance des étoiles, astroparticules, dynamisme de l’Univers..
Cette discipline remonte à une époque reculée, puisque les première traces d’études et d’observations nous parviennent d’Aristarque de Samos (310 av. J.-C. – 250 av. J.-C.), qui avait compris que le mouvement des astres pouvaient s’expliquer par l’interaction gravitationnelle des planètes tournant autour du Soleil.
Aujourd’hui, l’astrophysique a fait d’énormes progrès, et les avancées majeures en instrumentation nous permettent de regarder toujours plus loin. Un des domaines les plus étudiés actuellement est la recherche et la détermination (géologique, chimique..) de nouvelles planètes et étoiles se situant dans certains secteurs de l’Univers.

Synthèse organique d’un composé pharmacologiquement actif (2)

Semaine du 16 au 22 août.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 23 août.

Le thème de la semaine est la connexité.

1. Soit un espace topologique, une partie de et un connexe de d’intersection non vide avec l’intérieur de et avec l’intérieur de .
   Montrer que .
2. Soit un espace topologique connexe et un fermé de . On suppose que est connexe.
   Montrer que est connexe.
   Qu’en est-il si n’est pas supposé fermé ?
3. Déterminer .
4. Nous savons que et sont en bijections. Mais est-ce que que et , munis de leurs topologies usuelles, sont homéomorphes ?

Et pour ceux qui ne sont pas au point avec la notion de connexité, voilà un petit amusement mathématique :

• Nous savons que , et donc pour tout réel , on a, en élevant à la puissance : .
  Donc, si on choisit , on a , c’est-à-dire : . Suspect, non ?
  De même, si cette fois on pose , on obtient , i.e. . De plus en plus louche…
  Quelle erreur avons nous donc pu faire ?

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 23 aout.

Lors d’un jeu télévisé trois boites sont proposées à un participant. Une seule contient un cadeau. Au début de l’émission le participant choisit une boite puis parmi les deux boites restantes l’animateur, qui sait où est placé le cadeau, retire une boite ne contenant pas le cadeau (ce qui est toujours possible : si le participant a pris la boite contenant le cadeau, les deux autres boites sont vides et s’il a pris une boite sans cadeau, une des deux restantes est vide). Puis l’animateur demande au participant s’il souhaite conserver sa boite ou l’échanger avec la boite restante.

1) Virologie fondamentale

Dans cette partie, les questions sont théoriques. Il est inutile de développer au delà de la réponse attendue.

a) Définir le terme « virus ». Donnez 3 exemples de familles de virus. Quelle est la différence entre virus et virion ?
b) Donnez les éléments permettant de caractériser un virus. Exemple : ARN/ADN
c) Combien de structures de capsides sont connues ? Donner un exemple pour chaque type de structure capsidiale.
d) Historiquement, comment s’effectuait la « culture virale » ? (2 réponses possibles).

2) Virologie appliquée à la pathologie humaine

Un homme de 72 ans (voir photo) est amené aux urgences pour des céphalées sévères, associés à de nouvelles douleurs articulaires (rhumatisme articulaire aigu), remarquées à cause d’une interruption récente de son traitement pour les douleurs articulaire (prednisolone 60mg/j – le patient voulait voir si ses douleurs étaient toujours présentes). Le voisin du patient a appelé une ambulance, celui-ci étant confus et fievreux.

Félicitations à Nikopole dont j’ai repris et quasiment pas corrigé la réponse. Lnk avait également trouvé, mais sans détails. Kitu est à honorer dans ce cas-ci, car il est allé plutôt loin alors qu’il n’y connait pas grand chose en biologie, donc bravo Kitu !!

Synthèse organique d’un composé pharmacologiquement actif (2)

Comme promis, voici un exercice du même type que l’exercice de biochimie de la semaine 29 (Juillet 2010). Afin de simplifier les choses, la structure du produit final F est donnée. De plus, vous trouverez des commentaires pour chaque étape.

Soit la synthèse organique suivante :

Semaine du 9 au 15 août.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 16 août.

Cette semaine on va commencer par trois problèmes de probabilités, dont le premier est très connu, et finir avec un problème d’analyse :

1. Lors d’un jeu télévisé trois boites sont proposées à un participant. Une seule contient un cadeau. Au début de l’émission le participant choisit une boite puis parmi les deux boites restantes l’animateur, qui sait où est placé le cadeau, retire une boite ne contenant pas le cadeau (ce qui est toujours possible : si le participant a pris la boite contenant le cadeau, les deux autres boites sont vides et s’il a pris une boite sans cadeau, une des deux restantes est vide). Puis l’animateur demande au participant s’il souhaite conserver sa boite ou l’échanger avec la boite restante.
   Est-il plus avantageux pour le participant de maintenir son choix ? De se reporter sur l’autre boite ? Ou alors cela n’influe pas sur ses chances ?
2. Une urne contient boules parmi lesquelles sont blanches et sont noires (). On tire une boule de l’urne puis on la remet en rajoutant en plus une deuxième boule de même couleur. Quelle est la probabilité qu’en continuant ainsi, on obtienne une boule blanche au ème tirage () ?
3. On considère ici les développements décimaux propres, c’est-à-dire qui ne se terminent pas par une infinité de 9. Quel est la probabilité de tirer un réel de ne contenant pas le chiffre 7 dans son développement décimal ?
4. Lors du quizz du 23 juillet nous avons vu que (une démonstration est disponible dans ce post).
   Nous pouvons nous demander ce qui se passe lorsque l’on remplace par un autre nombre :
   Pour quels réels la suite définie par converge-t’elle ? Et lorsqu’elle converge, quelle est sa limite ?

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 16 aout.