Semaine du 9 au 15 août.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 16 août.

Cette semaine on va commencer par trois problèmes de probabilités, dont le premier est très connu, et finir avec un problème d’analyse :

1. Lors d’un jeu télévisé trois boites sont proposées à un participant. Une seule contient un cadeau. Au début de l’émission le participant choisit une boite puis parmi les deux boites restantes l’animateur, qui sait où est placé le cadeau, retire une boite ne contenant pas le cadeau (ce qui est toujours possible : si le participant a pris la boite contenant le cadeau, les deux autres boites sont vides et s’il a pris une boite sans cadeau, une des deux restantes est vide). Puis l’animateur demande au participant s’il souhaite conserver sa boite ou l’échanger avec la boite restante.
   Est-il plus avantageux pour le participant de maintenir son choix ? De se reporter sur l’autre boite ? Ou alors cela n’influe pas sur ses chances ?
2. Une urne contient boules parmi lesquelles sont blanches et sont noires (). On tire une boule de l’urne puis on la remet en rajoutant en plus une deuxième boule de même couleur. Quelle est la probabilité qu’en continuant ainsi, on obtienne une boule blanche au ème tirage () ?
3. On considère ici les développements décimaux propres, c’est-à-dire qui ne se terminent pas par une infinité de 9. Quel est la probabilité de tirer un réel de ne contenant pas le chiffre 7 dans son développement décimal ?
4. Lors du quizz du 23 juillet nous avons vu que (une démonstration est disponible dans ce post).
   Nous pouvons nous demander ce qui se passe lorsque l’on remplace par un autre nombre :
   Pour quels réels la suite définie par converge-t’elle ? Et lorsqu’elle converge, quelle est sa limite ?

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 16 aout.

Le groupe des réels modulo 1 est-il le groupe additif d’un anneau unitaire ?

L’espace  est-il réunion disjointe de cercles topologiques (c’est-à-dire homéomorphes à un cercle euclidien non-dégénéré) ?

On parle bien de cercles et non de boules! (comme pour la semaine dernière, l’ordre des questions peut vous apporter la réponse… à moins que ce soit un piège cette fois!!!)

Le plan est-il réunion disjointe de cercles euclidiens non-dégénérés (de rayons non nuls et différents de l’infini) ?

La réponse est non, en voici une démonstration utilisant le raisonnement par l’absurde et le théorème des fermés emboîtés (une démonstration est disponible ici à la page 5) dans le plan qui est un espace métrique complet :

Voici des explications concernant certaines questions mathématiques (et dans une moindre mesure pour la physique et l’informatique) qui sont tombées lors du premier quizz du canal et qui nécessitent des raisonnements.
Les utilisateurs du canal savent où obtenir les logs pour voir l’ensemble des questions!

Semaine du 19 au 25 juillet.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 26 juillet.

Voici trois problèmes concernant l’existence de partitions particulière du plan :

1. Le plan est-il réunion disjointe de cercles euclidiens non-dégénérés (de rayons non nuls et différents de l’infini) ?
2. Peut-on recouvrir le plan avec un ensemble dénombrable de droites ?
3. Le plan est-il réunion disjointe de cercles topologiques (c’est-à-dire homéomorphes à un cercle euclidien non-dégénéré) ? (difficile)

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 26.