Semaine du 20 au 26 septembre.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 27 septembre.

Comme c’était mon anniversaire il y a peu, un petit exercice sur le paradoxe des anniversaires :

1. Soit un groupe de personnes, quelle est la probabilité que deux personnes soient nées le même jour ? (en considérant qu’une année dure 365jours)
2. Combien de personnes doit-on réunir pour obtenir une probabilité de un demi ?

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 27 septembre.

Cet article contient la correction des problèmes de la semaine 36.
Il n’y aura pas de problème pour la semaine 37 (je n’ai pas eu accès à internet).

Semaine du 6 au 12 septembre.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 13 septembre.

Cette semaine, un peu d’algèbre linéaire :

1. Soient et deux endomorphismes d’un espace vectoriel tels que soit nilpotent d’ordre et que .
   Calculer .
2. Soit un espace vectoriel.
   Donner une caractérisation des couples d’endomorphismes de vérifiant .
3. Soient un corps, et .
   Calculer le polynôme caractéristique de la matrice suivante :.

   Les matrices de cette forme (et leurs transposées) portent le nom de matrices compagnons (nous parlerons de ce nom dans la correction, quelques auteurs parlent aussi de matrices de Frobenius) et jouent un rôle assez important : elles interviennent dans une démonstration (parmi tant d’autres) du théorème de Cayley-Hamilton, dans la démonstration donnant la forme d’une suite récurrente linéaire d’ordre fini, dans la démonstration donnant la forme des solutions d’équations différentielles linéaires, dans la décomposition de Frobenius en fournissant une caractérisation des matrices cycliques, dans une démonstration du théorème de Kronecker sur les polynômes de Sylvester, dans une des nombreuses démonstrations des identités de Newton (ou encore formules de Newton-Girard, une démonstration plus connue utilise les formules de Viète) et ailleurs (même dans des résultats très récents)…

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 13 septembre.

Tout d’abord, LE classique :
Déterminer les applications continues telles que .

Semaine du 30 août au 5 septembre.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 30 août.

Cette semaine, des équations fonctionnelles :

1. Tout d’abord, LE classique :
   Déterminer les applications continues telles que .
2. Déterminer les applications continues telles que .
3. Déterminer les applications continues telles que .
4. Déterminer les couples d’applications tels que .

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 6 septembre.

Semaine du 23 au 29 août.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 30 août.

Cette semaine, les problèmes vont être un peu plus ludique. Les deux problèmes sont très connus, vous connaissez probablement la réponse, mais ça peut être l’occasion d’en chercher des démonstrations. Évitez d’aller trop vite sur google et wikipedia .

1. Peut on remplir un échiquier privé des cases A1 et H8 (ie. en haut à gauche et en bas à droite) à l’aide de dominos couvrant deux cases ? (voir image ci-dessous)
   Attention, les dominos n’ont pas le droit de sortir de l’échiquier (on ne peut pas juste couvrir une case et sortir de l’échiquier) et ne doivent couvrir que deux cases ayant un côté commun (et donc, on ne peut les mettre en diagonal).
   
2. Voici une carte de la ville de Königsberg en 1651 (désormais nommée Kaliningrad).
   
   Peut-on partir d’une des quatre zones et y revenir en passant par tous les ponts une, et une seule fois ?

Comme la semaine dernière, voici un petit amusement mathématique :

• 

  ?! Mais c’est faux!!
  Où est donc l’erreur dans notre raisonnement ?!

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 30 aout.

Soit un espace topologique, une partie de et un connexe de d’intersection non vide avec l’intérieur de et avec l’intérieur de .
Montrer que .

Comme et , on peut écrire comme réunion disjointe : . Ainsi on a : .
Donc si on avait , on aurait comme partition (ie. réunion d’ensembles non vides et disjoints) des deux ouverts et , et alors ne serait pas connexe. Ce qui est absurde.

Soit un espace topologique connexe et un fermé de . On suppose que est connexe.
Montrer que est connexe.
Qu’en est-il si n’est pas supposé fermé ?

Pour montrer que est connexe, on va montrer que toute application continue de dans discret est constante.
Soit continue. La restriction de à (inclus dans par fermeture) est donc continue, et donc par connexité de , est constante.
Pour si fixer les idées, supposons .
On considère : .
On a , , et (car et ).
Comme et sont fermés (resp. comme image réciproque d’un fermé par continue et par réunion finie de deux fermées), on a montré que les images réciproques des fermés de discret par étaient des fermés de . Donc est continue, et étant défini sur un connexe et à valeurs dans discret, est constant (et vaut 0 ici).
Donc aussi, ce qui permet de conclure.

Le résultat n’est plus vrai si n’est pas supposé fermé : considérer et , alors qui est connexe, mais ne l’est pas (rappel : les connexes de sont les intervalles de ).

Déterminer .

Dans tout cet exercice, et sont munis de leurs topologies usuelles.

Considérons , il est évident que est continue, et on a : .

Posons maintenant , à valeurs dans muni de la topologie discrète, qui est clairement continue.
Alors l’application est continue à valeurs dans discret et est donc constante sur les composantes connexes de .
Il suffit désormais d’évaluer sur un point par composante connexe afin de pouvoir répondre.

Nous savons que et sont en bijections. Mais est-ce que que et , munis de leurs topologies usuelles, sont homéomorphes ?

Un raisonnement par l’absurde permet de répondre par la négative :
Supposons l’existence d’un homéomorphisme . Alors comme est connexe (car connexe par arc) et comme est continue, on sait que est un connexe de .
Or par bijectivité de , il vient : , qui n’est pas un connexe de (car les connexes de sont les intervalles de ).
D’où une contradiction.

Nous savons que , et donc pour tout réel , on a, en élevant à la puissance : .
Donc, si on choisit , on a , c’est-à-dire : . Suspect, non ?
De même, si cette fois on pose , on obtient , i.e. . De plus en plus louche…
Quelle erreur avons nous donc pu faire ?

Il faut savoir que la propriété n’est vraie que si ( et ) ou si ( et ).
Ici, , on ne peut donc pas écrire .

Semaine du 16 au 22 août.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 23 août.

Le thème de la semaine est la connexité.

1. Soit un espace topologique, une partie de et un connexe de d’intersection non vide avec l’intérieur de et avec l’intérieur de .
   Montrer que .
2. Soit un espace topologique connexe et un fermé de . On suppose que est connexe.
   Montrer que est connexe.
   Qu’en est-il si n’est pas supposé fermé ?
3. Déterminer .
4. Nous savons que et sont en bijections. Mais est-ce que que et , munis de leurs topologies usuelles, sont homéomorphes ?

Et pour ceux qui ne sont pas au point avec la notion de connexité, voilà un petit amusement mathématique :

• Nous savons que , et donc pour tout réel , on a, en élevant à la puissance : .
  Donc, si on choisit , on a , c’est-à-dire : . Suspect, non ?
  De même, si cette fois on pose , on obtient , i.e. . De plus en plus louche…
  Quelle erreur avons nous donc pu faire ?

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 23 aout.

Lors d’un jeu télévisé trois boites sont proposées à un participant. Une seule contient un cadeau. Au début de l’émission le participant choisit une boite puis parmi les deux boites restantes l’animateur, qui sait où est placé le cadeau, retire une boite ne contenant pas le cadeau (ce qui est toujours possible : si le participant a pris la boite contenant le cadeau, les deux autres boites sont vides et s’il a pris une boite sans cadeau, une des deux restantes est vide). Puis l’animateur demande au participant s’il souhaite conserver sa boite ou l’échanger avec la boite restante.