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[Maths] Problèmes de la semaine 38 (Septembre 2010)

Posted on : 20-09-2010 | By : camje_lemon | In : Mathématiques, Sciences

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Semaine du 20 au 26 septembre.

On demande des réponses justifiées, les solutions seront données le 27 septembre.

Comme c’était mon anniversaire il y a peu, un petit exercice sur le paradoxe des anniversaires :

  1. Soit un groupe de n personnes, quelle est la probabilité que deux personnes soient nées le même jour ? (en considérant qu’une année dure 365jours)
  2. Combien de personnes doit-on réunir pour obtenir une probabilité de un demi ?

Vous pouvez laisser vos réponses en commentaires, ces derniers ne seront visibles qu’à partir du 27 septembre.

Comments (2)

Nazral said on 24-09-2010

Pour la 1) comme ça, à vu de nez, je dirais :
Si n > 365, P = 1
Si n < 365, P = C(2,n)/365

2) moins de 365 et plus de 1 hihi. Je sais pas encore, je regarderai
Epsilon-2000 said on 28-10-2010

Soit A l’événement “les n dates sont différentes”. L’événement contraire est alors “deux personnes (au moins) sont nées le même jour”.

Pour n personnes, il y a 365^n possibilités différentes concernant leurs jours d’anniversaire. Le nombre de possibilités pour que les n dates soient toutes différentes est 365\times 364\times\dots\times(365-n+1). On a alors :
P(A)=\frac{365\times 364\times\dots\times(365-(n-1))}{365^n} = \frac{365!}{365^n\times (365-n)!}.
La probabilité cherchée est donc égale à :
1-\frac{365!}{365^n\times (365-n)!}.
Ce résultat est vrai pour n compris entre 1 et 364, car à partir de 365 personnes, la probabilité est clairement égale à 1.
Pour effectuer les calculs par machine sans dépasser la capacité mémoire, on peut calculer P(A) de la manière suivante :
P(A)=\frac{365}{365}\times\frac{364}{365}\times\dots\times\frac{365-(n-1)}{365}.

Pour la deuxième question, on veut avoir 1-P(A)\geqslant\frac{1}{2}, c’est-à-dire P(A)\leqslant\frac{1}{2}. Un calcul par tableur (par exemple) montre que n doit être supérieur ou égal à 24.

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