Voici des explications concernant certaines questions mathématiques (et dans une moindre mesure pour la physique et l’informatique) qui sont tombées lors du premier quizz du canal et qui nécessitent des raisonnements.
Les utilisateurs du canal savent où obtenir les logs pour voir l’ensemble des questions!

• [#1]: Supposons que des concombres soient composés de 99% d’eau. On en laisse reposer 500kg pendant une nuit, et on remarque que le lendemain les concombres ne contiennent plus que 98% d’eau. Quel est la masse de concombre restant (en kg) ?
  250kg :
  Beaucoup de personnes répondent intuitivement 490kg en essayant de considérer la partie évaporée, or le raisonnement est plus simple avec la partie non évaporée… Voici un raisonnement correct : la veille, il y a 1% de matière solide (5kg) et le reste d’eau (99% soit 495kg). Le lendemain la matière solide est de 2%, or la masse de la matière solide n’a pas évolué au cours de la nuit et est toujours de 5kg, sauf que désormais ces 5kg représente 2% de la masse totale, qui est donc de 5*50=250 (on multiplie par 50 pour passer de 2% à 100%)
• [#9]: Combien de polygones réguliers permettent de réaliser un pavage du plan ? (en toutes lettres)
  trois :
  Ici il fallait faire appel à l’intuition, ou se munir d’un stylo pour essayer! Voici une idée de démonstration rigoureuse : On rappelle qu’un polygone régulier est un polygone (figure géométrie formé de segments qui se rejoignent) convexe (tout segment joignant deux points du polygone reste dans le polygone) dont tous les angles ont la même mesure et tous les côtés ont la même longueur. Il s’agit des figures auxquelles on pense de suite lorsque l’on parle de figure ayant des côtés de même longueur. Ici les trois polygones possibles étaient le carré, le triangle équilatéral et l’hexagone. En voici une démonstration rigoureuse :
  Pour constituer un pavage, il faut qu’autour de chaque sommet un nombre entier de polygones comblent l’espace (on a pas le droit de les découper!), pour qu’un polygone convienne, il faut que 360 soit un multiple entier de l’angle qui le caractérise (on comble tout autour de chaque sommet, on réalise donc un tour complet autour de ce point). Or on sait que les angles d’un polygone régulier à n côtés mesurent degrés (Cela se démontre facilement, voir la figure : cliquez ici!). Il s’agit donc de trouver les entiers n tels que 360 soit un multiple de . C’est-à-dire les entiers n tel qu’il existe un entier k vérifiant : , ie . Or si alors , il reste donc à vérifier les cas n=3,4,5 et 6!
• [#17]: Si dans une course vous doublez le deuxième, à quelle position êtes vous ? (en toutes lettres)
  deuxième
  Les gens répondent souvent “premier” intuitivement (n’est-ce pas Yann ?)… Et ne se rendent pas forcément compte de leur erreur de suite. En effet, si on double le deuxième, on ne fait que prendre sa place! Le premier, reste premier…
• [#24]: Combien de couleurs sont nécessaires pour colorier n’importe quelle carte découpée en régions de sorte à ce que deux régions voisines (c’est à dire ayant au moins une frontière en commun, un point ne compte pas) soient de couleurs différentes ? (en toutes lettres)
  4 :
  Ce résultat est connu sous le nom du théorème des 4 couleurs. Il s’agit d’un théorème remarquable du fait de son histoire. Il a été formulé en 1852 par le botaniste et mathématicien sud-africain Francis Guthrie mais bien que l’énoncé semble simple, la première démonstration ne date que de 1976 et a nécessité, pour la première fois, l’utilisation de l’informatique dans une démonstration mathématique. En effet les mathématiciens Kenneth Appel et Wolfgang Haken se sont ramenés à l’étude de 1478 cas qui ont été traités numériquement.
• [#25]: Que vaut , c’est-à-dire racine de deux que l’on élève à la puissance racine de deux et ainsi de suite une infinité de fois ? (en toutes lettres)
  deux :
  On étudie la suite avec et . Ainsi n’est rien d’autre que la limite de cette suite. On a ainsi par passage à la limite par continuité de : . On étudie la fonction , on remarque qu’elle n’a que deux racines, or 2 et 4 sont solutions évidentes. Puis la suite est majorée par 2 (considérer , c’est plus grand que , et par substitutions successives on obtient , donc ).
• [#28]: On lance deux dés et on considère la somme des résultats. Sur quelle valeur faut-il miser pour avoir un maximum de chance de gagner ? (en toutes lettres)
  sept :
  Faites un tableau avec tous les cas possibles!
• [#31]: Trouver la suite : 1, 11, 21, 1211, 111221…
  312211 :
  Lire à haute voix, chiffre par chiffre (un 1, deux 1, un 2 un 1,…)
• [#39]: Quel est le chiffre des unités de 1!+2!+3!+4!+5!+…+2009!+2010! ? (en toute lettre)
  trois :
  déjà, à partir de 10!, tous les nombres sont multiples de 10 et finissent donc par un 0… Il suffit de calculer 1!+2!+3!+…+9! Mais c’est encore un peu long : on a encore mieux, à partir de 5!, on est multiple de 2 et de 5, et donc de 2*5=10 encore… Donc il suffit de considérer 1!+…+4!=33…
• [#40]: Que fait 1+2+3+4+…+100 ?
  5050 :
  Il y a ici de nombreuses démonstrations (récurrence, dessin sans texte, appliquer la formule de la somme des éléments d’une suite arithmétique,…). On raconte qu’à l’âge de 7ans et en ayant utilisé la méthode suivante, Gauss aurait ainsi pu répondre très rapidement à son professeur ayant proposé ce problème à la classe afin de les occuper : 1+2+3+4+…+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+…+(50+51)=50*101=5050.
  De la même façon on généralise :
• [#43]: Je marche de 25km vers le nord, puis de 25km vers l’est et enfin de 25km vers le sud. Je reviens à mon point de départ. D’où suis-je parti sachant que je suis dans l’hémisphère sud ?
  Du pôle sud :
  Si on est loin d’un pôle, il est impossible que ce soit vrai! Donc, on doit être proche du pôle sud! Et il se trouve qu’il s’agit de l’unique bonne réponse (il y en a une autre dans l’hemisphère nord, un peu plus compliquée).
• [#44]: Donner le terme suivant de la suite : 1, 1, 2, 3, 5,… ? (en toutes lettres)
  huit :
  Il s’agit de la célèbre suite de Fibonacci.
• [#47]: Je marche de 25km vers le nord, puis de 25km vers l’est et enfin de 25km vers le sud. Je reviens à mon point de départ. D’où suis-je parti sachant que je suis dans l’hémisphère nord ?
  A 29km du pôle nord :
  En faisant 25km vers le nord, on est désormais à 4km du pôle. Puis comme , en faisant 25km on fait un tour complet, et donc, en allant a 25km vers le sud, on revient au point de départ. C’est la seule possibilité.
• [#51]: La moitié du carré de vaut ?
  On peut être bien tenté de répondre ou une bêtise du même genre… .
• [#65]: Un adulte peut tirer 100N sur une balance, un enfant 30N. Qu’indiquera la balance si les deux tirent en même en même temps dans deux directions opposées ?
  30N :
  Il ne faut surtout pas sommer les forces. On ne peut pas tirer sur un corps avec une force de 100N s’il n’y a pas une réaction équivalente de sa part. Ici, la force de résistance est celle de l’enfant, qui vaut 30N. L’adulte ne peut pas tirer avec une force de plus de 30N (sinon l’enfant tombe) et la balance indique alors 30N.
• [#67]: Quelle est courbe décrit la trajectoire d’un corps lancé avec un angle par rapport à l’horizontal si on suppose que la résistance de l’air est nulle ?
  Un arc d’ellipse : (bravo à ammoniark)
  (Un arc d’ellipse dont l’un des foyers est le centre de la terre, utiliser les lois de Kepler) La plupart des livres (avec équation et solution à l’appui) parlent d’arc de parabole… Mais il ne s’agit que d’une approximation dans le cas où le corps n’est pas lancé très haut : c’est sans tenir compte de la variation de la pesanteur avec l’altitude. Lors des pièces d’artilleries classiques, l’approximation était convenable, mais à l’heure des missiles, ce n’est plus trop le cas.
• [#75]: Combien d’arêtes a un arbre à n noeuds ?
  n-1 :
  Raisonner par récurrence… (je commence à fatiguer!)